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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.18. Graficar las regiones determinadas en cada ítem y calcular su área.
c) C={y≥x2−4x+3;y≤0}C=\left\{y \geq x^{2}-4 x+3 ; y \leq 0\right\}

Respuesta

En este problema, estamos trabajando con dos funciones involucradas: f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 y g(x)=0g(x) = 0 1) Buscamos los puntos de intersección entre ff y gg Igualamos f(x)f(x) a g(x)g(x) x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 Si resolvés esta cuadrática, vas a llegar a que las soluciones son x=1x = 1 y x=3x = 3 Por lo tanto, ff y gg se intersecan en x=1x = 1 y x=3x = 3. 2) Nos fijamos quién es techo y quién es piso

En el intervalo (1,3)(1,3), evaluamos ff y gg para determinar cuál es el "techo" y cuál es el "piso". En este caso g(x)g(x) es el techo y f(x)f(x) es el piso. Y de hecho esto nuevamente coincide con la desigualdad que nos escribían en el enunciado.  3) Planteamos la integral del área A=∫13(g(x)−f(x)) dx=∫13(0−(x2−4x+3)) dx= =∫13(−x2+4x−3) dxA = \int_{1}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1}^{3} (0 - (x^2 - 4x + 3)) \, dx = = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx

Calculamos la integral: 
∫13(−x2+4x−3) dx=−x33+2x2−3x ∣13 =(−333+2⋅32−3⋅3)−(−133+2⋅12−3⋅1)= 43\int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \Big|_{1}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) = \frac{4}{3}
Por lo tanto, el área encerrada es 43\frac{4}{3}
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